基礎數學知識¶

本部分會介紹“基礎數學知識”，這裏加了引號，所以並不見得真的很基礎。。

代數系統和近世代數¶

在一個集合中，如若有一種或多種代數運算（Algebraic Operation），我們往往會籠統地稱它爲代數系統（Algebraic System），也稱代數結構（Algebraic Structure）。

作爲一個不斷進步完善的數學分支，代數學的研究範圍也逐漸擴大，其關注的集合亦從古典的整數、有理數、實數與複數等常見數集，擴展到矢量、矩陣、線性算子等對象，並着眼於定義在它們之上的代數運算。這類課題共同組成了如今的近世代數（Modern Algebra）學科，或言抽象代數（Abstract Algebra）。

上文提到的代數運算，是定義在集合中的元素之間的法則，亦與集合是否能作成代數系統有着密切關聯，它們擴展自常見的加減乘除這樣的運算。經過定義合適的代數運算，集合可以作成羣、環、域、格等代數系統，這也是筆者行將介紹的。

羣¶

給定一個集合 $G\neq\varnothing$ 以及其上的二元代數運算「 $\circ$ 」，如若它們滿足如下性質：

封閉性（Closure）： $\forall v, u \in G, \quad v \circ u \in G;$
結合律（Associativity）： $\forall v, u, w \in G, \quad (v \circ u) \circ w = v \circ (u \circ w);$
單位元（Identity）： $\exists e \in G, \forall v \in G, \quad e \circ v = v;$
逆元（Inverse，亦稱反元）： $\forall v \in G, \exists v^{-1} \in G, \quad v^{-1} \circ v = e;$

則稱集合 $G$ 對該代數運算作成一個羣（Group），記作 $(G,\circ)$ .

一個很常見的例子便是所謂的整數加法羣 $(\mathbb{Z},+)$ ，不難驗證其不僅對加法封閉，滿足結合律，且存在整數 $0$ 作爲單位元，並對於每個整數 $m$ 皆有其相反數 $-m$ 作爲其逆元。類似地，可以驗證正有理數集 $(\mathbb{Q}_+,\times)$ 對乘法亦作成羣（單位元爲 $1$ ，對於每個元素 $a$ 其逆元爲 $\frac{1}a$ ）；實數域 $\mathbb{R}$ 上的全體 $m$ 階可逆矩陣對於矩陣乘法作成羣（單位元爲 $m$ 階單位矩陣 $E_m$ ，對於每個元素 $A$ 其逆元爲它的逆矩陣 $A^{-1}$ ），這在近世代數中被稱爲 $m$ 階一般線性羣 $GL_m(\mathbb{R})$ .

此外筆者舉出一個更簡單的例子，即是定義在集合 $\{-1,1\}$ 上的乘法羣 $(\{-1,1\},\times)$ ，這亦不難驗證其作成一個羣。

在近世代數中，研究羣的分支被稱爲羣論（Group Theory）。

半羣和幺半羣¶

在近世代數中，有些代數系統具有環的部分性質，雖不在我們的主要討論範圍內，但它們也具有廣泛的應用場景與不可忽視的研究價值：

對於其上二元代數運算封閉的非空集合，

如若僅滿足結合律，那麼可以稱該集合對該代數運算作成半羣（Semigroup）；
如若集合對於代數運算除封閉外，滿足結合律，且具有單位元，則可以稱其對該運算作成幺半羣（Monoid）。

由此，我們可以認爲：

幺半羣是含有單位元的半羣；
羣是每個元素皆有逆元的幺半羣。

舉例來說，正整數對於整數加法作成半羣，而非負整數對於整數加法作成幺半羣，由於零可以視爲整數加法的單位元。

交換羣¶

給定一個羣 $(G,\circ)$ ，如若其滿足交換律（Commutativity）i.e. $\forall v, u \in G,$ $ v \circ u = u \circ v, $ 則稱這個羣是一個交換羣或 Abel（阿貝爾）羣（Abelian Group）。

易見，上文提到的舉例中，整數加法羣 $(\mathbb{Z},+)$ 是交換羣，但 $m$ 階一般線性羣 $GL_m(\mathbb{R})$ 不是交換羣。

環和域¶

給定一個集合 $R\neq\varnothing$ 以及其上的兩個二元代數運算「 $+$ 」和「 $\circ$ 」，如若它們滿足如下性質：

$(R,+)$ 作成交換羣；
$R$ 對運算「 $\circ$ 」滿足結合律： $\forall v, u, w \in R,$ 皆有 $(v \circ w) \circ u = v \circ (w \circ u);$
分配律（Distributivity）： $\forall v, u, w \in R,$ 皆有 $w \circ (v + u) = w \circ v + w \circ u$ 與 $(v + u) \circ w = v \circ w + u \circ w$ 成立；

則稱集合 $R$ 對此二代數運算作成一個環（Ring），記作 $(R,+,\circ)$ ，並常分別稱運算「 $+$ 」和「 $\circ$ 」爲加法和乘法。

如若環 $R$ 上的乘法存在單位元 i.e. $\exists e \in G, \forall v \in G,$ 皆有 $e \circ v = v,$ 則稱環 $R$ 爲幺環（Ring with identity）；
如若環 $R$ 上的乘法滿足交換律，則稱其爲交換環（Commutative Ring）；
如若環 $R$ 中對除加法單位元外任意元素 $a \neq 0$ 皆存在乘法逆元 $a^{-1}$ ，則稱 $R$ 爲除環（Division Ring）；
如若環 $R$ 既是交換環又是除環，那麼環 $R$ 是一個域（Field）。

在部分書籍中，默認環含有乘法單位元，並稱不含有乘法單位元的環爲僞環（Pseudo Ring）。

在近世代數中，研究環和域的分支被分別稱爲環論（Ring Theory）和域論（Field Theory）。

在部分繁體中文語境下，域和域論常被稱爲體和體論（繁體中文分別寫作「體」和「體論」）。

階¶

指數：仿照數的指數，我們定義羣中元素的指數，對於 $v \in G, m$ 爲正整數，

$v^0 = e;$
$v^m = v \circ v \circ \cdots \circ v,$ 其中共有 $m$ 個 $v$ 參與代數運算；
$v^{-m} = \left(v^{-1}\right)^m;$

元素的階：對於任意給定的元素 $v \in G,$ 如若正整數 $m$ 滿足 $v^m = e,$ 則稱元素 $v$ 的階數爲 $m$ . 如若這樣的正整數不存在，則稱該元素的階爲無限。

舉例而言，在羣 $\left(\{1,-1,+\mathrm{j},-\mathrm{j}\},\times\right)$ 中，各元素的階如下：

元素	階
1	1
-1	2
$+\mathrm{j}$	4
$-\mathrm{j}$	4

同態¶

代數系統間的同態（Homomorphism）指在不同代數系統間能夠保持代數運算的映射。

具體來講，對於羣 $(G,\circ)$ 和 $(H,\ast)$ 而言，如若一個映射 $\psi: G \to H$ 滿足 $\forall v, u \in G,$

$\psi(v \circ u) = \psi(v) \ast \psi(u),$

那麼映射 $\psi$ 便可以稱爲從 $G$ 到 $H$ 的一個羣同態。

References¶

楊子胥，《近世代數》（第四版），高等教育出版社
羣論簡介 - OI-Wiki