擴展維納攻擊¶

• 擴展維納攻擊來自《Extending Wiener's Attack in the Presence of Many Decrypting Exponents》，相關題目在CTF中已經出現了，例如2020羊城杯的Simple，但都是一些模板題，這裏將詳細分析原論文中提出的方法以及分析方式，寫明擴展維納攻擊原理以及在文末給出了一些開放問題歡迎討論。

原理分析¶

維納（Wiener）的方法¶

• 維納Wiener提出了一種關於私鑰過小時對$N$進行分解的一種方式。並給出了證明當

  $$d < \frac{1}{3}N^{\frac{1}{4}}$$

  滿足時(還應滿足$q < p < 2q$，因這裏及後文主要是對私鑰進行探討，故忽略這類條件)一定能夠分解$N$。

• 以下爲原論文中對於Wiener's Approach的部分描述，部分內容有刪減，其實這裏也就是維納攻擊的證明，所以要想更詳細瞭解請再看維納攻擊的原理，這裏我們主要後面要用到這裏的式1。方法如下

  已知

  $$e*d -k*\lambda(N) = 1$$

  這裏$\lambda(N) = lcm(p-1, q-1) = \varphi(N) / g$，令$s = 1-p-q$則有

  $$edg - kN = g + ks\tag{1}$$

  將兩邊同時除以$dgN$則有

  $$\frac{e}{N} - \frac{k}{dg} = \frac{g+ks}{dgN} = (\frac{k}{dg})(\frac{s}{N}) + \frac{1}{dN}$$

  我們知道這裏有$e \approx N, s \approx N^{1/2}$，所以有$k/(dg)\approx 1$。則我們可以知道等式右邊約等於$N^{-1/2}$。我們都知道當

  $$|x - a/b| < 1/(2b^2)$$

  時則$a/b$是一個$x$連分數近似（連分數定理Continued Fractions）

  所以當

  $$d < \frac{\sqrt{2}}{2g}N^{\frac{1}{4}}$$

  時有$k/dg$是$e/N$的連分數近似，即能通過連分數展開覆蓋。

• 注意這裏前面所說的範圍和後面的範圍並不矛盾

  這裏對一些參數的值的近似並不嚴格，所以和維納攻擊的嚴格範圍有出入，具體細節可參考維納攻擊的證明。

郭（Guo）的方法¶

• 郭針對不止一個$e$的情況進行研究，但是郭只研究了兩個以及三個$e$的情況，上上節一樣，這裏我們還是使用原文內容翻譯+解釋的寫法。對於兩個$e$的情況，我們可以考慮

  $$e_1d_1g - k_1(p-1)(q-1) = g\\ e_2d_2g - k_2(p-1)(q-1) = g$$

  簡單化簡可以得到下式子

  $$k_2d_1e_1 - k_1d_2e_2 = k_2 - k_1\tag{2}$$

  兩邊同時除以$k_2d_1e_2$

  $$\frac{e_1}{e_2} - \frac{k_1d_2}{k_2d_1} = \frac{k_2 - k_1}{k_2d_1e_2}$$

  設$d_i < N^\alpha$，則等式右邊約等於$N^{-(1+\alpha)}$

  則當

  $$2(k_2d_1)^2 < N^{1+\alpha}$$

  時$k_1d_2/(k_2d_1)$是$e_1/e_2$的連分數近似。當$k_2$和$d_1$最多爲$N^\alpha$而且$g$很小時，得到

  $$\alpha < 1/3 - \epsilon\ \ \ (\epsilon > 0)$$

• 然而即使我們得到了$(k_1d_2)/(k_2d_1)$還是無法分解$N$，原文後面還討論了郭的提議，嘗試對$k_1d_2$進行分解，這裏不再講解。

擴展維納攻擊¶

• 上述部分內容截至目前（2021/10）網絡上已經有很多博文進行了講解了分析，但是對於具體擴展維納攻擊的原理以及格構造或者是更高維的推廣都沒有給出。這裏我將詳細的對原論文內容進行翻譯以及講解。

• 爲了將分析擴展到$n$個加密指數$e_i$（解密指數$d_i$很小），我們同時使用維納和郭的方法，我們將關係

  $$d_ige_i - k_iN = g + k_is$$

  記爲維納等式$W_i$，同樣我們可以得到關係

  $$k_id_je_j - k_jd_ie_i = k_i - k_j$$

  記爲郭等式$G_{i,j}$。

  我們假設$d_i$和$k_i$都小於$N^{\alpha_n}$，且$g$很小，$s \approx N^{1/2}$。可以注意到$W_i$和$G_i$的右側非常小，實際上分別最多爲$N^{1/2 + \alpha}$和$N^\alpha$。

  最後，我們考慮複合關係式比如$W_uG_{v,w}$，顯然大小爲$N^{1/2 + 2\alpha}$。

• 原文中這裏是定義了兩個關係式以及指出了他們的大小範圍，這個範圍很重要也容容易分析處理，之後我們所做的其實就是使用這兩個式子的不同複合關係去構造一個格，然後通過求其基向量得到$d_1g/k_1$，從而可以算得$\varphi(N)$並可以進一步的對$N$進行分解。

• 其實到這裏原理分析已經結束，關於格的構造其實也並不複雜，但是核心是這裏的複合關係的選取，以及對於最後$\alpha$大小的分析。

兩個小解密指數的情況¶

• 我們選取關係$W_1, G_{1,2},W_1W_2$,這樣便有

  $$\begin{aligned} d_1ge_1 - k_1N &= g+k_1s\\ k_1d_2e_2 - k_2d_1e_1 &= k_1-k_2\\ d_1d_2g^2e_1e_2 - d_1gk_2e_1N - d_2gk_1e_2N + k_1k_2N^2 &= (g+k_1s)(g+k_2s) \end{aligned}$$

  我們對第一個關係式乘上$k_2$，這樣左邊便全是由$d_1d_2g^2, d_1gk_2, d_2gk_1$和$k_1k_2$構成，這樣我們便可以用已知內容構造格將上述式子轉化爲矩陣運算

  $$\begin{pmatrix} k_1k_2&d_1gk_2&d_2gk_1&d_1d_2g^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-N&0&N^2\\ &e_1&-e_1&-e_1N\\ &&e_2&-e_2N\\ &&&e_1e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1k_2&k_2(g+k_1s)&g(k_1 - k_2)&(g+k_1s)(g+k_2s) \end{pmatrix}$$

  等式右邊向量的大小爲$N^{2\alpha_2}, N^{1/2+2\alpha_2}, N^{\alpha_2}, N^{1+2\alpha_2}$,爲了讓大小相等，我們可以考慮構造一個D矩陣。

  $$D = \begin{pmatrix} N&&&\\ &N^{1/2}&&\\ &&N^{1+\alpha_2}&\\ &&&1 \end{pmatrix}$$

  最終我們構造的矩陣爲

  $$L_2 = \begin{pmatrix} 1&-N&0&N^2\\ &e_1&-e_1&-e_1N\\ &&e_2&-e_2N\\ &&&e_1e_2 \end{pmatrix} * D$$

  這樣向量$b = \begin{pmatrix} k_1k_2&d_1gk_2&d_2gk_1&d_1d_2g^2 \end{pmatrix}$便有

  $$\Vert bL_2 \Vert < 2N^{1+2\alpha_2}$$

  這也就是爲什麼前面需要構造$D$矩陣的原因，給定$D$矩陣後，我們可以得到一個上界，這樣問題可以轉化爲類SVP問題。

  那麼這裏的b向量其實我們使用格基規約算法例如LLL便可以得到基向量$b$，然後我們求解$b_2/b_1$即得到$d_1g/k_1$

  之後我們就可以得到

  $$\varphi(N) = \frac{edg}{k} - \frac{g}{k} = \lfloor edg/k\rceil$$

  我們假設這些格中最短向量長度爲$\Delta^{1/4-\epsilon}$，其中$\Delta = det(L_2) = N^{13/2 + \alpha_2}$。如果這些格是隨機的，我們甚至幾乎可以肯定沒有格點比閔可夫斯基界（Minkowski's bound）$2\Delta^{1/4}$，所以$bL_2$是最短向量當

  $$N^{1+2\alpha_2} < (1/c_2)\left(N^{13/2+\alpha_2}\right)^{1/4}$$

  對於一些小的$c_2$，如果有

  $$\alpha_2 < 5/14 - \epsilon^{'}$$

  則我們可以通過格基規約找到向量$b$。

• 上述內容是原文中給出的當兩個小解密指數是進行的攻擊細節，並且分析了$\alpha$的大小關係。

三個小解密指數的情況¶

• 對於三個指數的情況我們額外選取$G_{1, 3}, W_1G_{2, 3}, W_2G_{1,3}$

  這樣我們的向量b爲

  $$B = \begin{pmatrix} k_1k_2k_3&d_1gk_2k_3&k_1d_2gk_3&d_1d_2g^2k_3&k_1k_2d_3g&k_1d_3g&k_2d_3g&d_1d_2d_3g^3 \end{pmatrix}$$

  然後我們便可以構造格

  $$L_3 = \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & -N & 0 & N^{2} & 0 & 0 & 0 & -N^{3} \\ 0 & e_{1} & -e_{1} & -N e_{1} & -e_{1} & 0 & N e_{1} & N^{2} e_{1} \\ 0 & 0 & e_{2} & -N e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & N^{2} e_{2} \\ 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} & 0 & -e_{1} e_{2} & -e_{1} e_{2} & -N e_{1} e_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} & -N e_{3} & -N e_{3} & N^{2} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} & 0 & -N e_{1} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} & -N e_{2} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} \end{array}\right)$$

  其中

  $$D = diag(\begin{array}{r} N^{\frac{3}{2}}&N&N^{a + \frac{3}{2}}&\sqrt{N}&N^{a + \frac{3}{2}}&N^{a + 1}&N^{a + 1}&1\end{array})$$

  同樣我們可以得到

  $$\Vert bL_2 \Vert < \sqrt{8}N^{3/2+2\alpha_3}$$

  則當

  $$\alpha_3 < 2/5 - \epsilon^{'}$$

  時可以通過格基規約求出向量$b$。

四個小解密指數的情況¶

• 額外選取$G_{1, 4}, W_1G_{2, 4}, G_{1, 2}G_{3,4}, G_{1, 3}G_{2, 4}, W_1W_2G_{3, 4}, W_1W_3G_{2, 4}, W_2W_3G_{1, 4}, W_1W_2W_3W_4$進行構造。不再翻譯。

分析¶

• 擴展維納攻擊結合上述三個例子已經詳細的闡明瞭方法細節，但是其中沒有講解如何選取複合關係。其實在原文的附錄中給出了複合關係的選取，以及給出了$\alpha_n$的表達式。

• 在原文附錄部分，考慮$n$個指數$e_i$，這樣則有$2^n$個不同的量$h_j$（一個表達式$e_i$的個數），這樣我們的$L_n$在乘上$D$之前，矩陣$L_n$的行列式爲$N^{n2^{n-1}}$

  這樣最後一個關係$W_1W_2\dots W_n$最大爲$N^{n/2 + n\alpha_n}$，這樣我們便知道了任意情況的最大界值，我們只需要讓其他值增加到這麼多即可（即構造$D$矩陣）

  引入了新的關係式

  $$R_{u,v} = W_{i_1}\dots W_{i_u}G_{j_1, l_1}\dots G_{j_v, l_v}$$

  其中$i_1,\dots,i_u,j_1,\dots,j_u,l_1,\dots,l_v$都不同，那麼這裏最多會有$u + 2v$個指數$e_i$，則我們的關係$R_{u,v}$最多爲$N^{u/2 + (u+v)\alpha_n}$，同時注意我要需要所有係數的大小大致相同，所以我們在某些等式乘上$k_i$，使得關係$R_{u, v} = N^{u/2 + (n-v)\alpha_n}$。

  最後我們再計算所有的大小與最大大小$N^{n/2 + n\alpha_n}$的差值，構造矩陣$D$。

  這樣我們便完成了矩陣$D$的構造，同時設矩陣$D$裏面指數的乘積爲$\beta_n = x+y\alpha_n$，這樣有

  $$det(L_n) \approx N^{n2^{n-1} + x + y\alpha_n}$$

  則有

  $$N^{n/2 + n\alpha_n} < (1/c_n)\left(N^{n2^{n-1} + x + y\alpha_n}\right)^{1/2^n}$$

  對於小$c_n$，有

  $$\alpha_n < \frac{x}{n2^n - y} - \epsilon^{'}$$

  所以我們要想讓$\alpha_n$更大就需要讓$x$和$y$更大，這意味着我們要選取更多的$v$和更小的$u$。比如在$n=2$的情況我們選取$W_1, G_{1, 2}, W_1W_2$而不是$W_1, W_2, W_1W_2$因爲前者$\beta_2 = 5/2 + \alpha$而後者$\beta_2 = 2$。

• 到這裏，其實已經講清楚了擴展維納攻擊的整個流程，如何選擇複合關係，如何構造格，如何構造矩陣$D$以及如何求解。在原文的文末也給出了$n\le 5$時候的選擇關係表。

  

  這裏我也給出$n\le8$的選擇關係以及$n=6$時候構造的矩陣以供驗證自己是否能夠編寫出選擇關係式的邏輯代碼。

  -
  W(1)
  G(1, 2)
  W(1)W(2)
  G(1, 3)
  W(1)G(2, 3)
  W(2)G(1, 3)
  W(1)W(2)W(3)
  G(1, 4)
  W(1)G(2, 4)
  G(1, 2)G(3, 4)
  G(1, 3)G(2, 4)
  W(1)W(2)G(3, 4)
  W(1)W(3)G(2, 4)
  W(2)W(3)G(1, 4)
  W(1)W(2)W(3)W(4)
  G(1, 5)
  W(1)G(2, 5)
  G(1, 2)G(3, 5)
  G(1, 3)G(2, 5)
  G(1, 4)G(2, 5)
  W(1)W(2)G(3, 5)
  W(1)G(2, 3)G(4, 5)
  W(1)G(2, 4)G(3, 5)
  W(2)G(1, 3)G(4, 5)
  W(2)G(1, 4)G(3, 5)
  W(3)G(1, 4)G(2, 5)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 5)
  W(1)W(2)W(4)G(3, 5)
  W(1)W(3)W(4)G(2, 5)
  W(2)W(3)W(4)G(1, 5)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)
  G(1, 6)
  W(1)G(2, 6)
  G(1, 2)G(3, 6)
  G(1, 3)G(2, 6)
  G(1, 4)G(2, 6)
  G(1, 5)G(2, 6)
  W(1)W(2)G(3, 6)
  W(1)G(2, 3)G(4, 6)
  W(1)G(2, 4)G(3, 6)
  W(1)G(2, 5)G(3, 6)
  G(1, 2)W(3)G(4, 6)
  G(1, 2)G(3, 4)G(5, 6)
  G(1, 2)G(3, 5)G(4, 6)
  G(1, 3)G(2, 4)G(5, 6)
  G(1, 3)G(2, 5)G(4, 6)
  G(1, 4)G(2, 5)G(3, 6)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 6)
  W(1)W(2)G(3, 4)G(5, 6)
  W(1)W(2)G(3, 5)G(4, 6)
  W(1)W(3)G(2, 4)G(5, 6)
  W(1)W(3)G(2, 5)G(4, 6)
  W(1)W(4)G(2, 5)G(3, 6)
  W(2)W(3)G(1, 4)G(5, 6)
  W(2)W(3)G(1, 5)G(4, 6)
  W(2)W(4)G(1, 5)G(3, 6)
  W(3)W(4)G(1, 5)G(2, 6)
  W(1)W(2)W(3)W(4)G(5, 6)
  W(1)W(2)W(3)W(5)G(4, 6)
  W(1)W(2)W(4)W(5)G(3, 6)
  W(1)W(3)W(4)W(5)G(2, 6)
  W(2)W(3)W(4)W(5)G(1, 6)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)W(6)
  G(1, 7)
  W(1)G(2, 7)
  G(1, 2)G(3, 7)
  G(1, 3)G(2, 7)
  G(1, 4)G(2, 7)
  G(1, 5)G(2, 7)
  G(1, 6)G(2, 7)
  W(1)W(2)G(3, 7)
  W(1)G(2, 3)G(4, 7)
  W(1)G(2, 4)G(3, 7)
  W(1)G(2, 5)G(3, 7)
  W(1)G(2, 6)G(3, 7)
  G(1, 2)W(3)G(4, 7)
  G(1, 2)G(3, 4)G(5, 7)
  G(1, 2)G(3, 5)G(4, 7)
  G(1, 2)G(3, 6)G(4, 7)
  G(1, 3)G(2, 4)G(5, 7)
  G(1, 3)G(2, 5)G(4, 7)
  G(1, 3)G(2, 6)G(4, 7)
  G(1, 4)G(2, 5)G(3, 7)
  G(1, 4)G(2, 6)G(3, 7)
  G(1, 5)G(2, 6)G(3, 7)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 7)
  W(1)W(2)G(3, 4)G(5, 7)
  W(1)W(2)G(3, 5)G(4, 7)
  W(1)W(2)G(3, 6)G(4, 7)
  W(1)G(2, 3)W(4)G(5, 7)
  W(1)G(2, 3)G(4, 5)G(6, 7)
  W(1)G(2, 3)G(4, 6)G(5, 7)
  W(1)G(2, 4)G(3, 5)G(6, 7)
  W(1)G(2, 4)G(3, 6)G(5, 7)
  W(1)G(2, 5)G(3, 6)G(4, 7)
  W(2)G(1, 3)W(4)G(5, 7)
  W(2)G(1, 3)G(4, 5)G(6, 7)
  W(2)G(1, 3)G(4, 6)G(5, 7)
  W(2)G(1, 4)G(3, 5)G(6, 7)
  W(2)G(1, 4)G(3, 6)G(5, 7)
  W(2)G(1, 5)G(3, 6)G(4, 7)
  W(3)G(1, 4)G(2, 5)G(6, 7)
  W(3)G(1, 4)G(2, 6)G(5, 7)
  W(3)G(1, 5)G(2, 6)G(4, 7)
  W(4)G(1, 5)G(2, 6)G(3, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(4)G(5, 7)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 5)G(6, 7)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 6)G(5, 7)
  W(1)W(2)W(4)G(3, 5)G(6, 7)
  W(1)W(2)W(4)G(3, 6)G(5, 7)
  W(1)W(2)W(5)G(3, 6)G(4, 7)
  W(1)W(3)W(4)G(2, 5)G(6, 7)
  W(1)W(3)W(4)G(2, 6)G(5, 7)
  W(1)W(3)W(5)G(2, 6)G(4, 7)
  W(1)W(4)W(5)G(2, 6)G(3, 7)
  W(2)W(3)W(4)G(1, 5)G(6, 7)
  W(2)W(3)W(4)G(1, 6)G(5, 7)
  W(2)W(3)W(5)G(1, 6)G(4, 7)
  W(2)W(4)W(5)G(1, 6)G(3, 7)
  W(3)W(4)W(5)G(1, 6)G(2, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)G(6, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(6)G(5, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(5)W(6)G(4, 7)
  W(1)W(2)W(4)W(5)W(6)G(3, 7)
  W(1)W(3)W(4)W(5)W(6)G(2, 7)
  W(2)W(3)W(4)W(5)W(6)G(1, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)W(6)W(7)
  G(1, 8)
  W(1)G(2, 8)
  G(1, 2)G(3, 8)
  G(1, 3)G(2, 8)
  G(1, 4)G(2, 8)
  G(1, 5)G(2, 8)
  G(1, 6)G(2, 8)
  G(1, 7)G(2, 8)
  W(1)W(2)G(3, 8)
  W(1)G(2, 3)G(4, 8)
  W(1)G(2, 4)G(3, 8)
  W(1)G(2, 5)G(3, 8)
  W(1)G(2, 6)G(3, 8)
  W(1)G(2, 7)G(3, 8)
  G(1, 2)W(3)G(4, 8)
  G(1, 2)G(3, 4)G(5, 8)
  G(1, 2)G(3, 5)G(4, 8)
  G(1, 2)G(3, 6)G(4, 8)
  G(1, 2)G(3, 7)G(4, 8)
  G(1, 3)G(2, 4)G(5, 8)
  G(1, 3)G(2, 5)G(4, 8)
  G(1, 3)G(2, 6)G(4, 8)
  G(1, 3)G(2, 7)G(4, 8)
  G(1, 4)G(2, 5)G(3, 8)
  G(1, 4)G(2, 6)G(3, 8)
  G(1, 4)G(2, 7)G(3, 8)
  G(1, 5)G(2, 6)G(3, 8)
  G(1, 5)G(2, 7)G(3, 8)
  G(1, 6)G(2, 7)G(3, 8)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 8)
  W(1)W(2)G(3, 4)G(5, 8)
  W(1)W(2)G(3, 5)G(4, 8)
  W(1)W(2)G(3, 6)G(4, 8)
  W(1)W(2)G(3, 7)G(4, 8)
  W(1)G(2, 3)W(4)G(5, 8)
  W(1)G(2, 3)G(4, 5)G(6, 8)
  W(1)G(2, 3)G(4, 6)G(5, 8)
  W(1)G(2, 3)G(4, 7)G(5, 8)
  W(1)G(2, 4)G(3, 5)G(6, 8)
  W(1)G(2, 4)G(3, 6)G(5, 8)
  W(1)G(2, 4)G(3, 7)G(5, 8)
  W(1)G(2, 5)G(3, 6)G(4, 8)
  W(1)G(2, 5)G(3, 7)G(4, 8)
  W(1)G(2, 6)G(3, 7)G(4, 8)
  G(1, 2)W(3)W(4)G(5, 8)
  G(1, 2)W(3)G(4, 5)G(6, 8)
  G(1, 2)W(3)G(4, 6)G(5, 8)
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  G(1, 2)G(3, 4)G(5, 7)G(6, 8)
  G(1, 2)G(3, 5)G(4, 6)G(7, 8)
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  $$\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} 1 & -N & 0 & N^{2} & 0 & 0 & 0 & -N^{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{6} \\ 0 & e_{1} & -e_{1} & -N e_{1} & -e_{1} & 0 & N e_{1} & N^{2} e_{1} & -e_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} & -N^{3} e_{1} & -e_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{1} & N^{4} e_{1} & -e_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{4} e_{1} & -N^{5} e_{1} \\ 0 & 0 & e_{2} & -N e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & N^{2} e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{2} & 0 & -N^{3} e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{2} & 0 & N^{4} e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 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0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} & N^{2} e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & -N e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & -N e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & -N e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} \end{array}\right)$$

開放探討¶

• 對於現在擴展維納的問題都是$n=2$或者是$n=3$時候的模板題，對於更高維的情況，可以編寫自動化的腳本來完整自動選擇關係、自動構造格等步驟，比如上述內容就是自動生成的。但是對於$n$每增加1，矩陣則是指數倍增加，因爲這是一個$2^n * 2^n$的矩陣，這時候直接調用sagemath中的LLL()變得非常緩慢，大約$n=8$的情況已經運行不出來了，我曾嘗試尋找LLL在CUDA上的並行算法或是一些其他優化方案實現，但是都是找到了論文沒有給出源碼的情況。

  如果您對這方面有所研究或者有什麼更好的優化方法，歡迎聯繫我（Xenny）一起進行更加深入的探討。

EXP¶

• 考慮到不是每個人都需要深入研究擴展維納攻擊，這裏還是給出$n=2$時候的EXP以供使用

  e1 = ...
  e2 = ...
  N = ...
  a = 5/14
  D = diagonal_matrix(ZZ, [N, int(N^(1/2)), int(N^(1+a)), 1])
  M = matrix(ZZ, [[1, -N, 0, N^2], [0, e1, -e1, -e1*N], [0, 0, e2, -e2*N], [0, 0, 0, e1*e2]])*D
  L = M.LLL()
  t = vector(ZZ, L[0])
  x = t * M^(-1)
  phi = int(x[1]/x[0]*e1)
  

References¶

• Extending Wiener's Attack in the Presence of Many Decrypting Exponents
• 並行LLL算法研究綜述
• Factoring Polynomials with Rational Coefficients
• A PARALLEL JACOBI-TYPE LATTICE BASIS REDUCTION ALGORITHM