基础数学知识¶

本部分会介绍“基础数学知识”，这里加了引号，所以并不见得真的很基础。。

代数系统和近世代数¶

在一个集合中，如若有一种或多种代数运算（Algebraic Operation），我们往往会笼统地称它为代数系统（Algebraic System），也称代数结构（Algebraic Structure）。

作为一个不断进步完善的数学分支，代数学的研究范围也逐渐扩大，其关注的集合亦从古典的整数、有理数、实数与复数等常见数集，扩展到矢量、矩阵、线性算子等对象，并着眼于定义在它们之上的代数运算。这类课题共同组成了如今的近世代数（Modern Algebra）学科，或言抽象代数（Abstract Algebra）。

上文提到的代数运算，是定义在集合中的元素之间的法则，亦与集合是否能作成代数系统有着密切关联，它们扩展自常见的加减乘除这样的运算。经过定义合适的代数运算，集合可以作成群、环、域、格等代数系统，这也是笔者行将介绍的。

群¶

给定一个集合 $G\neq\varnothing$ 以及其上的二元代数运算「 $\circ$ 」，如若它们满足如下性质：

1. 封闭性（Closure）： $\forall v, u \in G, \quad v \circ u \in G;$
2. 结合律（Associativity）： $\forall v, u, w \in G, \quad (v \circ u) \circ w = v \circ (u \circ w);$
3. 单位元（Identity）： $\exists e \in G, \forall v \in G, \quad e \circ v = v;$
4. 逆元（Inverse，亦称反元）： $\forall v \in G, \exists v^{-1} \in G, \quad v^{-1} \circ v = e;$

则称集合 $G$ 对该代数运算作成一个群（Group），记作 $(G,\circ)$.

一个很常见的例子便是所谓的整数加法群 $(\mathbb{Z},+)$，不难验证其不仅对加法封闭，满足结合律，且存在整数 $0$ 作为单位元，并对于每个整数 $m$ 皆有其相反数 $-m$ 作为其逆元。类似地，可以验证正有理数集 $(\mathbb{Q}_+,\times)$ 对乘法亦作成群（单位元为 $1$ ，对于每个元素 $a$ 其逆元为 $\frac{1}a$）；实数域 $\mathbb{R}$ 上的全体 $m$ 阶可逆矩阵对于矩阵乘法作成群（单位元为 $m$ 阶单位矩阵 $E_m$，对于每个元素 $A$ 其逆元为它的逆矩阵 $A^{-1}$），这在近世代数中被称为 $m$ 阶一般线性群 $GL_m(\mathbb{R})$.

此外笔者举出一个更简单的例子，即是定义在集合 $\{-1,1\}$ 上的乘法群 $(\{-1,1\},\times)$，这亦不难验证其作成一个群。

在近世代数中，研究群的分支被称为群论（Group Theory）。

半群和幺半群¶

在近世代数中，有些代数系统具有环的部分性质，虽不在我们的主要讨论范围内，但它们也具有广泛的应用场景与不可忽视的研究价值：

对于其上二元代数运算封闭的非空集合，

• 如若仅满足结合律，那么可以称该集合对该代数运算作成半群（Semigroup）；
• 如若集合对于代数运算除封闭外，满足结合律，且具有单位元，则可以称其对该运算作成幺半群（Monoid）。

由此，我们可以认为：

• 幺半群是含有单位元的半群；
• 群是每个元素皆有逆元的幺半群。

举例来说，正整数对于整数加法作成半群，而非负整数对于整数加法作成幺半群，由于零可以视为整数加法的单位元。

交换群¶

给定一个群 $(G,\circ)$，如若其满足交换律（Commutativity）i.e. $\forall v, u \in G,$ $ v \circ u = u \circ v, $ 则称这个群是一个交换群或 Abel（阿贝尔）群（Abelian Group）。

易见，上文提到的举例中，整数加法群 $(\mathbb{Z},+)$ 是交换群，但 $m$ 阶一般线性群 $GL_m(\mathbb{R})$ 不是交换群。

环和域¶

给定一个集合 $R\neq\varnothing$ 以及其上的两个二元代数运算「 $+$ 」和「 $\circ$ 」，如若它们满足如下性质：

1. $(R,+)$ 作成交换群；
2. $R$ 对运算「 $\circ$ 」满足结合律： $\forall v, u, w \in R,$ 皆有 $(v \circ w) \circ u = v \circ (w \circ u);$
3. 分配律（Distributivity）： $\forall v, u, w \in R,$ 皆有 $w \circ (v + u) = w \circ v + w \circ u$ 与 $(v + u) \circ w = v \circ w + u \circ w$ 成立；

则称集合 $R$ 对此二代数运算作成一个环（Ring），记作 $(R,+,\circ)$，并常分别称运算「$+$」和「$\circ$」为加法和乘法。

• 如若环 $R$ 上的乘法存在单位元 i.e. $\exists e \in G, \forall v \in G,$ 皆有 $e \circ v = v,$ 则称环 $R$ 为幺环（Ring with identity）；
• 如若环 $R$ 上的乘法满足交换律，则称其为交换环（Commutative Ring）；
• 如若环 $R$ 中对除加法单位元外任意元素 $a \neq 0$ 皆存在乘法逆元 $a^{-1}$，则称 $R$ 为除环（Division Ring）；
• 如若环 $R$ 既是交换环又是除环，那么环 $R$ 是一个域（Field）。

在部分书籍中，默认环含有乘法单位元，并称不含有乘法单位元的环为伪环（Pseudo Ring）。

在近世代数中，研究环和域的分支被分别称为环论（Ring Theory）和域论（Field Theory）。

在部分繁体中文语境下，域和域论常被称为体和体论（繁体中文分别写作「體」和「體論」）。

阶¶

指数：仿照数的指数，我们定义群中元素的指数，对于 $v \in G, m$ 为正整数，

• $v^0 = e;$
• $v^m = v \circ v \circ \cdots \circ v,$ 其中共有 $m$ 个 $v$ 参与代数运算；
• $v^{-m} = \left(v^{-1}\right)^m;$

元素的阶：对于任意给定的元素 $v \in G,$ 如若正整数 $m$ 满足 $v^m = e,$ 则称元素 $v$ 的阶数为 $m$. 如若这样的正整数不存在，则称该元素的阶为无限。

举例而言，在群 $\left(\{1,-1,+\mathrm{j},-\mathrm{j}\},\times\right)$ 中，各元素的阶如下：

同态¶

代数系统间的同态（Homomorphism）指在不同代数系统间能够保持代数运算的映射。

具体来讲，对于群 $(G,\circ)$ 和 $(H,\ast)$ 而言，如若一个映射 $\psi: G \to H$ 满足 $\forall v, u \in G,$

那么映射 $\psi$ 便可以称为从 $G$ 到 $H$ 的一个群同态。

References¶

• 杨子胥，《近世代数》（第四版），高等教育出版社
• 群论简介 - OI-Wiki