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基础数学知识

本部分会介绍“基础数学知识”，这里加了引号，所以并不见得真的很基础。。

代数系统和近世代数

在一个集合中，如若有一种或多种代数运算（Algebraic Operation），我们往往会笼统地称它为代数系统（Algebraic System），也称代数结构（Algebraic Structure）。

作为一个不断进步完善的数学分支，代数学的研究范围也逐渐扩大，其关注的集合亦从古典的整数、有理数、实数与复数等常见数集，扩展到矢量、矩阵、线性算子等对象，并着眼于定义在它们之上的代数运算。这类课题共同组成了如今的近世代数（Modern Algebra）学科，或言抽象代数（Abstract Algebra）。

上文提到的代数运算，是定义在集合中的元素之间的法则，亦与集合是否能作成代数系统有着密切关联，它们扩展自常见的加减乘除这样的运算。经过定义合适的代数运算，集合可以作成群、环、域、格等代数系统，这也是笔者行将介绍的。

群

给定一个集合 G\neq\varnothing 以及其上的二元代数运算「 \circ 」，如若它们满足如下性质：

  1. 封闭性（Closure）： \forall v, u \in G, \quad v \circ u \in G;
  2. 结合律（Associativity）： \forall v, u, w \in G, \quad (v \circ u) \circ w = v \circ (u \circ w);
  3. 单位元（Identity）： \exists e \in G, \forall v \in G, \quad e \circ v = v;
  4. 逆元（Inverse，亦称反元）： \forall v \in G, \exists v^{-1} \in G, \quad v^{-1} \circ v = e;

则称集合 G 对该代数运算作成一个群（Group），记作 (G,\circ).

一个很常见的例子便是所谓的整数加法群 (\mathbb{Z},+)，不难验证其不仅对加法封闭，满足结合律，且存在整数 0 作为单位元，并对于每个整数 m 皆有其相反数 -m 作为其逆元。类似地，可以验证正有理数集 (\mathbb{Q}_+,\times) 对乘法亦作成群（单位元为 1 ，对于每个元素 a 其逆元为 \frac{1}a）；实数域 \mathbb{R} 上的全体 m 阶可逆矩阵对于矩阵乘法作成群（单位元为 m 阶单位矩阵 E_m，对于每个元素 A 其逆元为它的逆矩阵 A^{-1}），这在近世代数中被称为 m 阶一般线性群 GL_m(\mathbb{R}).

此外笔者举出一个更简单的例子，即是定义在集合 \{-1,1\} 上的乘法群 (\{-1,1\},\times)，这亦不难验证其作成一个群。

在近世代数中，研究群的分支被称为群论（Group Theory）。

半群和幺半群

在近世代数中，有些代数系统具有环的部分性质，虽不在我们的主要讨论范围内，但它们也具有广泛的应用场景与不可忽视的研究价值：

对于其上二元代数运算封闭的非空集合，

  • 如若仅满足结合律，那么可以称该集合对该代数运算作成半群（Semigroup）；
  • 如若集合对于代数运算除封闭外，满足结合律，且具有单位元，则可以称其对该运算作成幺半群（Monoid）。

由此，我们可以认为：

  • 幺半群是含有单位元的半群；
  • 群是每个元素皆有逆元的幺半群。

举例来说，正整数对于整数加法作成半群，而非负整数对于整数加法作成幺半群，由于零可以视为整数加法的单位元。

交换群

给定一个群 (G,\circ)，如若其满足交换律（Commutativity）i.e. \forall v, u \in G, $ v \circ u = u \circ v, $ 则称这个群是一个交换群或 Abel（阿贝尔）群（Abelian Group）。

易见，上文提到的举例中，整数加法群 (\mathbb{Z},+) 是交换群，但 m 阶一般线性群 GL_m(\mathbb{R}) 不是交换群。

环和域

给定一个集合 R\neq\varnothing 以及其上的两个二元代数运算「 + 」和「 \circ 」，如若它们满足如下性质：

  1. (R,+) 作成交换群；
  2. R 对运算「 \circ 」满足结合律： \forall v, u, w \in R, 皆有 (v \circ w) \circ u = v \circ (w \circ u);
  3. 分配律（Distributivity）： \forall v, u, w \in R, 皆有 w \circ (v + u) = w \circ v + w \circ u 与 (v + u) \circ w = v \circ w + u \circ w 成立；

则称集合 R 对此二代数运算作成一个环（Ring），记作 (R,+,\circ)，并常分别称运算「+」和「\circ」为加法和乘法。

  • 如若环 R 上的乘法存在单位元 i.e. \exists e \in G, \forall v \in G, 皆有 e \circ v = v, 则称环 R 为幺环（Ring with identity）；
  • 如若环 R 上的乘法满足交换律，则称其为交换环（Commutative Ring）；
  • 如若环 R 中对除加法单位元外任意元素 a \neq 0 皆存在乘法逆元 a^{-1}，则称 R 为除环（Division Ring）；
  • 如若环 R 既是交换环又是除环，那么环 R 是一个域（Field）。

在部分书籍中，默认环含有乘法单位元，并称不含有乘法单位元的环为伪环（Pseudo Ring）。

在近世代数中，研究环和域的分支被分别称为环论（Ring Theory）和域论（Field Theory）。

在部分繁体中文语境下，域和域论常被称为体和体论（繁体中文分别写作「體」和「體論」）。

阶

指数：仿照数的指数，我们定义群中元素的指数，对于 v \in G, m 为正整数，

  • v^0 = e;
  • v^m = v \circ v \circ \cdots \circ v, 其中共有 m 个 v 参与代数运算；
  • v^{-m} = \left(v^{-1}\right)^m;

元素的阶：对于任意给定的元素 v \in G, 如若正整数 m 满足 v^m = e, 则称元素 v 的阶数为 m. 如若这样的正整数不存在，则称该元素的阶为无限。

举例而言，在群 \left(\{1,-1,+\mathrm{j},-\mathrm{j}\},\times\right) 中，各元素的阶如下：

元素 阶
1 1
-1 2
+\mathrm{j} 4
-\mathrm{j} 4

同态

代数系统间的同态（Homomorphism）指在不同代数系统间能够保持代数运算的映射。

具体来讲，对于群 (G,\circ) 和 (H,\ast) 而言，如若一个映射 \psi: G \to H 满足 \forall v, u \in G,

\psi(v \circ u) = \psi(v) \ast \psi(u),

那么映射 \psi 便可以称为从 G 到 H 的一个群同态。

References