扩展维纳攻击¶

• 扩展维纳攻击来自《Extending Wiener's Attack in the Presence of Many Decrypting Exponents》，相关题目在CTF中已经出现了，例如2020羊城杯的Simple，但都是一些模板题，这里将详细分析原论文中提出的方法以及分析方式，写明扩展维纳攻击原理以及在文末给出了一些开放问题欢迎讨论。

原理分析¶

维纳（Wiener）的方法¶

• 维纳Wiener提出了一种关于私钥过小时对$N$进行分解的一种方式。并给出了证明当

  $$d < \frac{1}{3}N^{\frac{1}{4}}$$

  满足时(还应满足$q < p < 2q$，因这里及后文主要是对私钥进行探讨，故忽略这类条件)一定能够分解$N$。

• 以下为原论文中对于Wiener's Approach的部分描述，部分内容有删减，其实这里也就是维纳攻击的证明，所以要想更详细了解请再看维纳攻击的原理，这里我们主要后面要用到这里的式1。方法如下

  已知

  $$e*d -k*\lambda(N) = 1$$

  这里$\lambda(N) = lcm(p-1, q-1) = \varphi(N) / g$，令$s = 1-p-q$则有

  $$edg - kN = g + ks\tag{1}$$

  将两边同时除以$dgN$则有

  $$\frac{e}{N} - \frac{k}{dg} = \frac{g+ks}{dgN} = (\frac{k}{dg})(\frac{s}{N}) + \frac{1}{dN}$$

  我们知道这里有$e \approx N, s \approx N^{1/2}$，所以有$k/(dg)\approx 1$。则我们可以知道等式右边约等于$N^{-1/2}$。我们都知道当

  $$|x - a/b| < 1/(2b^2)$$

  时则$a/b$是一个$x$连分数近似（连分数定理Continued Fractions）

  所以当

  $$d < \frac{\sqrt{2}}{2g}N^{\frac{1}{4}}$$

  时有$k/dg$是$e/N$的连分数近似，即能通过连分数展开覆盖。

• 注意这里前面所说的范围和后面的范围并不矛盾

  这里对一些参数的值的近似并不严格，所以和维纳攻击的严格范围有出入，具体细节可参考维纳攻击的证明。

郭（Guo）的方法¶

• 郭针对不止一个$e$的情况进行研究，但是郭只研究了两个以及三个$e$的情况，上上节一样，这里我们还是使用原文内容翻译+解释的写法。对于两个$e$的情况，我们可以考虑

  $$e_1d_1g - k_1(p-1)(q-1) = g\\ e_2d_2g - k_2(p-1)(q-1) = g$$

  简单化简可以得到下式子

  $$k_2d_1e_1 - k_1d_2e_2 = k_2 - k_1\tag{2}$$

  两边同时除以$k_2d_1e_2$

  $$\frac{e_1}{e_2} - \frac{k_1d_2}{k_2d_1} = \frac{k_2 - k_1}{k_2d_1e_2}$$

  设$d_i < N^\alpha$，则等式右边约等于$N^{-(1+\alpha)}$

  则当

  $$2(k_2d_1)^2 < N^{1+\alpha}$$

  时$k_1d_2/(k_2d_1)$是$e_1/e_2$的连分数近似。当$k_2$和$d_1$最多为$N^\alpha$而且$g$很小时，得到

  $$\alpha < 1/3 - \epsilon\ \ \ (\epsilon > 0)$$

• 然而即使我们得到了$(k_1d_2)/(k_2d_1)$还是无法分解$N$，原文后面还讨论了郭的提议，尝试对$k_1d_2$进行分解，这里不再讲解。

扩展维纳攻击¶

• 上述部分内容截至目前（2021/10）网络上已经有很多博文进行了讲解了分析，但是对于具体扩展维纳攻击的原理以及格构造或者是更高维的推广都没有给出。这里我将详细的对原论文内容进行翻译以及讲解。

• 为了将分析扩展到$n$个加密指数$e_i$（解密指数$d_i$很小），我们同时使用维纳和郭的方法，我们将关系

  $$d_ige_i - k_iN = g + k_is$$

  记为维纳等式$W_i$，同样我们可以得到关系

  $$k_id_je_j - k_jd_ie_i = k_i - k_j$$

  记为郭等式$G_{i,j}$。

  我们假设$d_i$和$k_i$都小于$N^{\alpha_n}$，且$g$很小，$s \approx N^{1/2}$。可以注意到$W_i$和$G_i$的右侧非常小，实际上分别最多为$N^{1/2 + \alpha}$和$N^\alpha$。

  最后，我们考虑复合关系式比如$W_uG_{v,w}$，显然大小为$N^{1/2 + 2\alpha}$。

• 原文中这里是定义了两个关系式以及指出了他们的大小范围，这个范围很重要也容容易分析处理，之后我们所做的其实就是使用这两个式子的不同复合关系去构造一个格，然后通过求其基向量得到$d_1g/k_1$，从而可以算得$\varphi(N)$并可以进一步的对$N$进行分解。

• 其实到这里原理分析已经结束，关于格的构造其实也并不复杂，但是核心是这里的复合关系的选取，以及对于最后$\alpha$大小的分析。

两个小解密指数的情况¶

• 我们选取关系$W_1, G_{1,2},W_1W_2$,这样便有

  $$\begin{aligned} d_1ge_1 - k_1N &= g+k_1s\\ k_1d_2e_2 - k_2d_1e_1 &= k_1-k_2\\ d_1d_2g^2e_1e_2 - d_1gk_2e_1N - d_2gk_1e_2N + k_1k_2N^2 &= (g+k_1s)(g+k_2s) \end{aligned}$$

  我们对第一个关系式乘上$k_2$，这样左边便全是由$d_1d_2g^2, d_1gk_2, d_2gk_1$和$k_1k_2$构成，这样我们便可以用已知内容构造格将上述式子转化为矩阵运算

  $$\begin{pmatrix} k_1k_2&d_1gk_2&d_2gk_1&d_1d_2g^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&-N&0&N^2\\ &e_1&-e_1&-e_1N\\ &&e_2&-e_2N\\ &&&e_1e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1k_2&k_2(g+k_1s)&g(k_1 - k_2)&(g+k_1s)(g+k_2s) \end{pmatrix}$$

  等式右边向量的大小为$N^{2\alpha_2}, N^{1/2+2\alpha_2}, N^{\alpha_2}, N^{1+2\alpha_2}$,为了让大小相等，我们可以考虑构造一个D矩阵。

  $$D = \begin{pmatrix} N&&&\\ &N^{1/2}&&\\ &&N^{1+\alpha_2}&\\ &&&1 \end{pmatrix}$$

  最终我们构造的矩阵为

  $$L_2 = \begin{pmatrix} 1&-N&0&N^2\\ &e_1&-e_1&-e_1N\\ &&e_2&-e_2N\\ &&&e_1e_2 \end{pmatrix} * D$$

  这样向量$b = \begin{pmatrix} k_1k_2&d_1gk_2&d_2gk_1&d_1d_2g^2 \end{pmatrix}$便有

  $$\Vert bL_2 \Vert < 2N^{1+2\alpha_2}$$

  这也就是为什么前面需要构造$D$矩阵的原因，给定$D$矩阵后，我们可以得到一个上界，这样问题可以转化为类SVP问题。

  那么这里的b向量其实我们使用格基规约算法例如LLL便可以得到基向量$b$，然后我们求解$b_2/b_1$即得到$d_1g/k_1$

  之后我们就可以得到

  $$\varphi(N) = \frac{edg}{k} - \frac{g}{k} = \lfloor edg/k\rceil$$

  我们假设这些格中最短向量长度为$\Delta^{1/4-\epsilon}$，其中$\Delta = det(L_2) = N^{13/2 + \alpha_2}$。如果这些格是随机的，我们甚至几乎可以肯定没有格点比闵可夫斯基界（Minkowski's bound）$2\Delta^{1/4}$，所以$bL_2$是最短向量当

  $$N^{1+2\alpha_2} < (1/c_2)\left(N^{13/2+\alpha_2}\right)^{1/4}$$

  对于一些小的$c_2$，如果有

  $$\alpha_2 < 5/14 - \epsilon^{'}$$

  则我们可以通过格基规约找到向量$b$。

• 上述内容是原文中给出的当两个小解密指数是进行的攻击细节，并且分析了$\alpha$的大小关系。

三个小解密指数的情况¶

• 对于三个指数的情况我们额外选取$G_{1, 3}, W_1G_{2, 3}, W_2G_{1,3}$

  这样我们的向量b为

  $$B = \begin{pmatrix} k_1k_2k_3&d_1gk_2k_3&k_1d_2gk_3&d_1d_2g^2k_3&k_1k_2d_3g&k_1d_3g&k_2d_3g&d_1d_2d_3g^3 \end{pmatrix}$$

  然后我们便可以构造格

  $$L_3 = \left(\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & -N & 0 & N^{2} & 0 & 0 & 0 & -N^{3} \\ 0 & e_{1} & -e_{1} & -N e_{1} & -e_{1} & 0 & N e_{1} & N^{2} e_{1} \\ 0 & 0 & e_{2} & -N e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & N^{2} e_{2} \\ 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} & 0 & -e_{1} e_{2} & -e_{1} e_{2} & -N e_{1} e_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} & -N e_{3} & -N e_{3} & N^{2} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} & 0 & -N e_{1} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} & -N e_{2} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} \end{array}\right)$$

  其中

  $$D = diag(\begin{array}{r} N^{\frac{3}{2}}&N&N^{a + \frac{3}{2}}&\sqrt{N}&N^{a + \frac{3}{2}}&N^{a + 1}&N^{a + 1}&1\end{array})$$

  同样我们可以得到

  $$\Vert bL_2 \Vert < \sqrt{8}N^{3/2+2\alpha_3}$$

  则当

  $$\alpha_3 < 2/5 - \epsilon^{'}$$

  时可以通过格基规约求出向量$b$。

四个小解密指数的情况¶

• 额外选取$G_{1, 4}, W_1G_{2, 4}, G_{1, 2}G_{3,4}, G_{1, 3}G_{2, 4}, W_1W_2G_{3, 4}, W_1W_3G_{2, 4}, W_2W_3G_{1, 4}, W_1W_2W_3W_4$进行构造。不再翻译。

分析¶

• 扩展维纳攻击结合上述三个例子已经详细的阐明了方法细节，但是其中没有讲解如何选取复合关系。其实在原文的附录中给出了复合关系的选取，以及给出了$\alpha_n$的表达式。

• 在原文附录部分，考虑$n$个指数$e_i$，这样则有$2^n$个不同的量$h_j$（一个表达式$e_i$的个数），这样我们的$L_n$在乘上$D$之前，矩阵$L_n$的行列式为$N^{n2^{n-1}}$

  这样最后一个关系$W_1W_2\dots W_n$最大为$N^{n/2 + n\alpha_n}$，这样我们便知道了任意情况的最大界值，我们只需要让其他值增加到这么多即可（即构造$D$矩阵）

  引入了新的关系式

  $$R_{u,v} = W_{i_1}\dots W_{i_u}G_{j_1, l_1}\dots G_{j_v, l_v}$$

  其中$i_1,\dots,i_u,j_1,\dots,j_u,l_1,\dots,l_v$都不同，那么这里最多会有$u + 2v$个指数$e_i$，则我们的关系$R_{u,v}$最多为$N^{u/2 + (u+v)\alpha_n}$，同时注意我要需要所有系数的大小大致相同，所以我们在某些等式乘上$k_i$，使得关系$R_{u, v} = N^{u/2 + (n-v)\alpha_n}$。

  最后我们再计算所有的大小与最大大小$N^{n/2 + n\alpha_n}$的差值，构造矩阵$D$。

  这样我们便完成了矩阵$D$的构造，同时设矩阵$D$里面指数的乘积为$\beta_n = x+y\alpha_n$，这样有

  $$det(L_n) \approx N^{n2^{n-1} + x + y\alpha_n}$$

  则有

  $$N^{n/2 + n\alpha_n} < (1/c_n)\left(N^{n2^{n-1} + x + y\alpha_n}\right)^{1/2^n}$$

  对于小$c_n$，有

  $$\alpha_n < \frac{x}{n2^n - y} - \epsilon^{'}$$

  所以我们要想让$\alpha_n$更大就需要让$x$和$y$更大，这意味着我们要选取更多的$v$和更小的$u$。比如在$n=2$的情况我们选取$W_1, G_{1, 2}, W_1W_2$而不是$W_1, W_2, W_1W_2$因为前者$\beta_2 = 5/2 + \alpha$而后者$\beta_2 = 2$。

• 到这里，其实已经讲清楚了扩展维纳攻击的整个流程，如何选择复合关系，如何构造格，如何构造矩阵$D$以及如何求解。在原文的文末也给出了$n\le 5$时候的选择关系表。

  

  这里我也给出$n\le8$的选择关系以及$n=6$时候构造的矩阵以供验证自己是否能够编写出选择关系式的逻辑代码。

  -
  W(1)
  G(1, 2)
  W(1)W(2)
  G(1, 3)
  W(1)G(2, 3)
  W(2)G(1, 3)
  W(1)W(2)W(3)
  G(1, 4)
  W(1)G(2, 4)
  G(1, 2)G(3, 4)
  G(1, 3)G(2, 4)
  W(1)W(2)G(3, 4)
  W(1)W(3)G(2, 4)
  W(2)W(3)G(1, 4)
  W(1)W(2)W(3)W(4)
  G(1, 5)
  W(1)G(2, 5)
  G(1, 2)G(3, 5)
  G(1, 3)G(2, 5)
  G(1, 4)G(2, 5)
  W(1)W(2)G(3, 5)
  W(1)G(2, 3)G(4, 5)
  W(1)G(2, 4)G(3, 5)
  W(2)G(1, 3)G(4, 5)
  W(2)G(1, 4)G(3, 5)
  W(3)G(1, 4)G(2, 5)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 5)
  W(1)W(2)W(4)G(3, 5)
  W(1)W(3)W(4)G(2, 5)
  W(2)W(3)W(4)G(1, 5)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)
  G(1, 6)
  W(1)G(2, 6)
  G(1, 2)G(3, 6)
  G(1, 3)G(2, 6)
  G(1, 4)G(2, 6)
  G(1, 5)G(2, 6)
  W(1)W(2)G(3, 6)
  W(1)G(2, 3)G(4, 6)
  W(1)G(2, 4)G(3, 6)
  W(1)G(2, 5)G(3, 6)
  G(1, 2)W(3)G(4, 6)
  G(1, 2)G(3, 4)G(5, 6)
  G(1, 2)G(3, 5)G(4, 6)
  G(1, 3)G(2, 4)G(5, 6)
  G(1, 3)G(2, 5)G(4, 6)
  G(1, 4)G(2, 5)G(3, 6)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 6)
  W(1)W(2)G(3, 4)G(5, 6)
  W(1)W(2)G(3, 5)G(4, 6)
  W(1)W(3)G(2, 4)G(5, 6)
  W(1)W(3)G(2, 5)G(4, 6)
  W(1)W(4)G(2, 5)G(3, 6)
  W(2)W(3)G(1, 4)G(5, 6)
  W(2)W(3)G(1, 5)G(4, 6)
  W(2)W(4)G(1, 5)G(3, 6)
  W(3)W(4)G(1, 5)G(2, 6)
  W(1)W(2)W(3)W(4)G(5, 6)
  W(1)W(2)W(3)W(5)G(4, 6)
  W(1)W(2)W(4)W(5)G(3, 6)
  W(1)W(3)W(4)W(5)G(2, 6)
  W(2)W(3)W(4)W(5)G(1, 6)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)W(6)
  G(1, 7)
  W(1)G(2, 7)
  G(1, 2)G(3, 7)
  G(1, 3)G(2, 7)
  G(1, 4)G(2, 7)
  G(1, 5)G(2, 7)
  G(1, 6)G(2, 7)
  W(1)W(2)G(3, 7)
  W(1)G(2, 3)G(4, 7)
  W(1)G(2, 4)G(3, 7)
  W(1)G(2, 5)G(3, 7)
  W(1)G(2, 6)G(3, 7)
  G(1, 2)W(3)G(4, 7)
  G(1, 2)G(3, 4)G(5, 7)
  G(1, 2)G(3, 5)G(4, 7)
  G(1, 2)G(3, 6)G(4, 7)
  G(1, 3)G(2, 4)G(5, 7)
  G(1, 3)G(2, 5)G(4, 7)
  G(1, 3)G(2, 6)G(4, 7)
  G(1, 4)G(2, 5)G(3, 7)
  G(1, 4)G(2, 6)G(3, 7)
  G(1, 5)G(2, 6)G(3, 7)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 7)
  W(1)W(2)G(3, 4)G(5, 7)
  W(1)W(2)G(3, 5)G(4, 7)
  W(1)W(2)G(3, 6)G(4, 7)
  W(1)G(2, 3)W(4)G(5, 7)
  W(1)G(2, 3)G(4, 5)G(6, 7)
  W(1)G(2, 3)G(4, 6)G(5, 7)
  W(1)G(2, 4)G(3, 5)G(6, 7)
  W(1)G(2, 4)G(3, 6)G(5, 7)
  W(1)G(2, 5)G(3, 6)G(4, 7)
  W(2)G(1, 3)W(4)G(5, 7)
  W(2)G(1, 3)G(4, 5)G(6, 7)
  W(2)G(1, 3)G(4, 6)G(5, 7)
  W(2)G(1, 4)G(3, 5)G(6, 7)
  W(2)G(1, 4)G(3, 6)G(5, 7)
  W(2)G(1, 5)G(3, 6)G(4, 7)
  W(3)G(1, 4)G(2, 5)G(6, 7)
  W(3)G(1, 4)G(2, 6)G(5, 7)
  W(3)G(1, 5)G(2, 6)G(4, 7)
  W(4)G(1, 5)G(2, 6)G(3, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(4)G(5, 7)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 5)G(6, 7)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 6)G(5, 7)
  W(1)W(2)W(4)G(3, 5)G(6, 7)
  W(1)W(2)W(4)G(3, 6)G(5, 7)
  W(1)W(2)W(5)G(3, 6)G(4, 7)
  W(1)W(3)W(4)G(2, 5)G(6, 7)
  W(1)W(3)W(4)G(2, 6)G(5, 7)
  W(1)W(3)W(5)G(2, 6)G(4, 7)
  W(1)W(4)W(5)G(2, 6)G(3, 7)
  W(2)W(3)W(4)G(1, 5)G(6, 7)
  W(2)W(3)W(4)G(1, 6)G(5, 7)
  W(2)W(3)W(5)G(1, 6)G(4, 7)
  W(2)W(4)W(5)G(1, 6)G(3, 7)
  W(3)W(4)W(5)G(1, 6)G(2, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)G(6, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(6)G(5, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(5)W(6)G(4, 7)
  W(1)W(2)W(4)W(5)W(6)G(3, 7)
  W(1)W(3)W(4)W(5)W(6)G(2, 7)
  W(2)W(3)W(4)W(5)W(6)G(1, 7)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)W(6)W(7)
  G(1, 8)
  W(1)G(2, 8)
  G(1, 2)G(3, 8)
  G(1, 3)G(2, 8)
  G(1, 4)G(2, 8)
  G(1, 5)G(2, 8)
  G(1, 6)G(2, 8)
  G(1, 7)G(2, 8)
  W(1)W(2)G(3, 8)
  W(1)G(2, 3)G(4, 8)
  W(1)G(2, 4)G(3, 8)
  W(1)G(2, 5)G(3, 8)
  W(1)G(2, 6)G(3, 8)
  W(1)G(2, 7)G(3, 8)
  G(1, 2)W(3)G(4, 8)
  G(1, 2)G(3, 4)G(5, 8)
  G(1, 2)G(3, 5)G(4, 8)
  G(1, 2)G(3, 6)G(4, 8)
  G(1, 2)G(3, 7)G(4, 8)
  G(1, 3)G(2, 4)G(5, 8)
  G(1, 3)G(2, 5)G(4, 8)
  G(1, 3)G(2, 6)G(4, 8)
  G(1, 3)G(2, 7)G(4, 8)
  G(1, 4)G(2, 5)G(3, 8)
  G(1, 4)G(2, 6)G(3, 8)
  G(1, 4)G(2, 7)G(3, 8)
  G(1, 5)G(2, 6)G(3, 8)
  G(1, 5)G(2, 7)G(3, 8)
  G(1, 6)G(2, 7)G(3, 8)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 8)
  W(1)W(2)G(3, 4)G(5, 8)
  W(1)W(2)G(3, 5)G(4, 8)
  W(1)W(2)G(3, 6)G(4, 8)
  W(1)W(2)G(3, 7)G(4, 8)
  W(1)G(2, 3)W(4)G(5, 8)
  W(1)G(2, 3)G(4, 5)G(6, 8)
  W(1)G(2, 3)G(4, 6)G(5, 8)
  W(1)G(2, 3)G(4, 7)G(5, 8)
  W(1)G(2, 4)G(3, 5)G(6, 8)
  W(1)G(2, 4)G(3, 6)G(5, 8)
  W(1)G(2, 4)G(3, 7)G(5, 8)
  W(1)G(2, 5)G(3, 6)G(4, 8)
  W(1)G(2, 5)G(3, 7)G(4, 8)
  W(1)G(2, 6)G(3, 7)G(4, 8)
  G(1, 2)W(3)W(4)G(5, 8)
  G(1, 2)W(3)G(4, 5)G(6, 8)
  G(1, 2)W(3)G(4, 6)G(5, 8)
  G(1, 2)W(3)G(4, 7)G(5, 8)
  G(1, 2)G(3, 4)W(5)G(6, 8)
  G(1, 2)G(3, 4)G(5, 6)G(7, 8)
  G(1, 2)G(3, 4)G(5, 7)G(6, 8)
  G(1, 2)G(3, 5)G(4, 6)G(7, 8)
  G(1, 2)G(3, 5)G(4, 7)G(6, 8)
  G(1, 2)G(3, 6)G(4, 7)G(5, 8)
  G(1, 3)G(2, 4)W(5)G(6, 8)
  G(1, 3)G(2, 4)G(5, 6)G(7, 8)
  G(1, 3)G(2, 4)G(5, 7)G(6, 8)
  G(1, 3)G(2, 5)G(4, 6)G(7, 8)
  G(1, 3)G(2, 5)G(4, 7)G(6, 8)
  G(1, 3)G(2, 6)G(4, 7)G(5, 8)
  G(1, 4)G(2, 5)G(3, 6)G(7, 8)
  G(1, 4)G(2, 5)G(3, 7)G(6, 8)
  G(1, 4)G(2, 6)G(3, 7)G(5, 8)
  G(1, 5)G(2, 6)G(3, 7)G(4, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(4)G(5, 8)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 5)G(6, 8)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 6)G(5, 8)
  W(1)W(2)W(3)G(4, 7)G(5, 8)
  W(1)W(2)G(3, 4)W(5)G(6, 8)
  W(1)W(2)G(3, 4)G(5, 6)G(7, 8)
  W(1)W(2)G(3, 4)G(5, 7)G(6, 8)
  W(1)W(2)G(3, 5)G(4, 6)G(7, 8)
  W(1)W(2)G(3, 5)G(4, 7)G(6, 8)
  W(1)W(2)G(3, 6)G(4, 7)G(5, 8)
  W(1)W(3)G(2, 4)W(5)G(6, 8)
  W(1)W(3)G(2, 4)G(5, 6)G(7, 8)
  W(1)W(3)G(2, 4)G(5, 7)G(6, 8)
  W(1)W(3)G(2, 5)G(4, 6)G(7, 8)
  W(1)W(3)G(2, 5)G(4, 7)G(6, 8)
  W(1)W(3)G(2, 6)G(4, 7)G(5, 8)
  W(1)W(4)G(2, 5)G(3, 6)G(7, 8)
  W(1)W(4)G(2, 5)G(3, 7)G(6, 8)
  W(1)W(4)G(2, 6)G(3, 7)G(5, 8)
  W(1)W(5)G(2, 6)G(3, 7)G(4, 8)
  W(2)W(3)G(1, 4)W(5)G(6, 8)
  W(2)W(3)G(1, 4)G(5, 6)G(7, 8)
  W(2)W(3)G(1, 4)G(5, 7)G(6, 8)
  W(2)W(3)G(1, 5)G(4, 6)G(7, 8)
  W(2)W(3)G(1, 5)G(4, 7)G(6, 8)
  W(2)W(3)G(1, 6)G(4, 7)G(5, 8)
  W(2)W(4)G(1, 5)G(3, 6)G(7, 8)
  W(2)W(4)G(1, 5)G(3, 7)G(6, 8)
  W(2)W(4)G(1, 6)G(3, 7)G(5, 8)
  W(2)W(5)G(1, 6)G(3, 7)G(4, 8)
  W(3)W(4)G(1, 5)G(2, 6)G(7, 8)
  W(3)W(4)G(1, 5)G(2, 7)G(6, 8)
  W(3)W(4)G(1, 6)G(2, 7)G(5, 8)
  W(3)W(5)G(1, 6)G(2, 7)G(4, 8)
  W(4)W(5)G(1, 6)G(2, 7)G(3, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)G(6, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(4)G(5, 6)G(7, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(4)G(5, 7)G(6, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(5)G(4, 6)G(7, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(5)G(4, 7)G(6, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(6)G(4, 7)G(5, 8)
  W(1)W(2)W(4)W(5)G(3, 6)G(7, 8)
  W(1)W(2)W(4)W(5)G(3, 7)G(6, 8)
  W(1)W(2)W(4)W(6)G(3, 7)G(5, 8)
  W(1)W(2)W(5)W(6)G(3, 7)G(4, 8)
  W(1)W(3)W(4)W(5)G(2, 6)G(7, 8)
  W(1)W(3)W(4)W(5)G(2, 7)G(6, 8)
  W(1)W(3)W(4)W(6)G(2, 7)G(5, 8)
  W(1)W(3)W(5)W(6)G(2, 7)G(4, 8)
  W(1)W(4)W(5)W(6)G(2, 7)G(3, 8)
  W(2)W(3)W(4)W(5)G(1, 6)G(7, 8)
  W(2)W(3)W(4)W(5)G(1, 7)G(6, 8)
  W(2)W(3)W(4)W(6)G(1, 7)G(5, 8)
  W(2)W(3)W(5)W(6)G(1, 7)G(4, 8)
  W(2)W(4)W(5)W(6)G(1, 7)G(3, 8)
  W(3)W(4)W(5)W(6)G(1, 7)G(2, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)W(6)G(7, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)W(7)G(6, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(6)W(7)G(5, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(5)W(6)W(7)G(4, 8)
  W(1)W(2)W(4)W(5)W(6)W(7)G(3, 8)
  W(1)W(3)W(4)W(5)W(6)W(7)G(2, 8)
  W(2)W(3)W(4)W(5)W(6)W(7)G(1, 8)
  W(1)W(2)W(3)W(4)W(5)W(6)W(7)W(8)
  

  $$\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} 1 & -N & 0 & N^{2} & 0 & 0 & 0 & -N^{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{6} \\ 0 & e_{1} & -e_{1} & -N e_{1} & -e_{1} & 0 & N e_{1} & N^{2} e_{1} & -e_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} & -N^{3} e_{1} & -e_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{1} & N^{4} e_{1} & -e_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{4} e_{1} & -N^{5} e_{1} \\ 0 & 0 & e_{2} & -N e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & N^{2} e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{2} & 0 & -N^{3} e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{2} & 0 & N^{4} e_{2} & 0 & N e_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{4} e_{2} & 0 & -N^{5} e_{2} \\ 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} & 0 & -e_{1} e_{2} & -e_{1} e_{2} & -N e_{1} e_{2} & 0 & -e_{1} e_{2} & 0 & e_{1} e_{2} & 0 & N e_{1} e_{2} & N e_{1} e_{2} & N^{2} e_{1} e_{2} & 0 & -e_{1} e_{2} & 0 & e_{1} e_{2} & e_{1} e_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{2} & -N^{2} e_{1} e_{2} & -N^{3} e_{1} e_{2} & 0 & -e_{1} e_{2} & 0 & e_{1} e_{2} & e_{1} e_{2} & e_{1} e_{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{2} & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{1} e_{2} & N^{3} e_{1} e_{2} & N^{4} e_{1} e_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} & -N e_{3} & -N e_{3} & N^{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{3} & 0 & 0 & -N^{3} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{3} & 0 & 0 & N^{4} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{4} e_{3} & 0 & 0 & -N^{5} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} & 0 & -N e_{1} e_{3} & 0 & 0 & e_{1} e_{3} & 0 & N e_{1} e_{3} & 0 & N e_{1} e_{3} & N^{2} e_{1} e_{3} & 0 & 0 & e_{1} e_{3} & 0 & 0 & N e_{1} e_{3} & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{3} & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{3} & 0 & -N^{2} e_{1} e_{3} & -N^{3} e_{1} e_{3} & 0 & 0 & e_{1} e_{3} & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{3} & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{1} e_{3} & 0 & N^{3} e_{1} e_{3} & N^{4} e_{1} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} & -N e_{2} e_{3} & 0 & 0 & -e_{2} e_{3} & -e_{2} e_{3} & N e_{2} e_{3} & N e_{2} e_{3} & 0 & N^{2} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & -e_{2} e_{3} & -e_{2} e_{3} & 0 & N e_{2} e_{3} & 0 & -N e_{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{2} e_{3} & -N^{2} e_{2} e_{3} & 0 & -N^{3} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & -e_{2} e_{3} & -e_{2} e_{3} & 0 & 0 & N e_{2} e_{3} & 0 & -N e_{2} e_{3} & -N e_{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{2} e_{3} & N^{3} e_{2} e_{3} & 0 & N^{4} e_{2} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{3} & -e_{1} e_{2} e_{3} & -e_{1} e_{2} e_{3} & -N e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} & e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & N e_{1} e_{2} e_{3} & N e_{1} e_{2} e_{3} & N e_{1} e_{2} e_{3} & N^{2} e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} & e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{3} & -N e_{1} e_{2} e_{3} & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{2} e_{3} & -N^{2} e_{1} e_{2} e_{3} & -N^{2} e_{1} e_{2} e_{3} & -N^{3} e_{1} e_{2} e_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{4} & -N e_{4} & 0 & 0 & N^{2} e_{4} & N^{2} e_{4} & N^{2} e_{4} & -N^{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & N^{4} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{4} e_{4} & 0 & 0 & 0 & -N^{5} e_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{4} & -e_{1} e_{4} & -e_{1} e_{4} & -N e_{1} e_{4} & -N e_{1} e_{4} & 0 & N^{2} e_{1} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{4} & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{4} & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{4} & -N^{3} e_{1} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{4} & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{1} e_{4} & 0 & 0 & N^{3} e_{1} e_{4} & N^{4} e_{1} e_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{4} & 0 & -N e_{2} e_{4} & 0 & -N e_{2} e_{4} & N^{2} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{2} e_{4} & 0 & -N e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & N e_{2} e_{4} & -N^{2} e_{2} e_{4} & 0 & -N^{2} e_{2} e_{4} & 0 & -N^{3} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{2} e_{4} & 0 & 0 & -N e_{2} e_{4} & 0 & 0 & N e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{2} e_{4} & 0 & N^{3} e_{2} e_{4} & 0 & N^{4} e_{2} e_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} e_{4} & 0 & -N e_{3} e_{4} & -N e_{3} e_{4} & N^{2} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N e_{3} e_{4} & N e_{3} e_{4} & N e_{3} e_{4} & N e_{3} e_{4} & 0 & -N^{2} e_{3} e_{4} & -N^{2} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & -N^{3} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N e_{3} e_{4} & N e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{3} e_{4} & 0 & N^{2} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{3} e_{4} & N^{3} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & N^{4} e_{3} e_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & N e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & N e_{1} e_{2} e_{4} & N e_{1} e_{2} e_{4} & N^{2} e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & N e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & -N^{2} e_{1} e_{2} e_{4} & 0 & -N^{2} e_{1} e_{2} e_{4} & -N^{2} e_{1} e_{2} e_{4} & -N^{3} e_{1} e_{2} e_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{3} e_{4} & -e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{3} e_{4} & N e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & N e_{1} e_{3} e_{4} & N^{2} e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{3} e_{4} & -e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & -e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{4} & -N e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{3} e_{4} & -N^{2} e_{1} e_{3} e_{4} & 0 & -N^{2} e_{1} e_{3} e_{4} & -N^{3} e_{1} e_{3} e_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{4} & -N e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{2} e_{3} e_{4} & -e_{2} e_{3} e_{4} & -e_{2} e_{3} e_{4} & N e_{2} e_{3} e_{4} & N e_{2} e_{3} e_{4} & N e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & N^{2} e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & e_{2} e_{3} e_{4} & e_{2} e_{3} e_{4} & N e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{4} & -N e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{2} e_{3} e_{4} & -N^{2} e_{2} e_{3} e_{4} & -N^{2} e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & -N^{3} e_{2} e_{3} e_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & -N e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & 0 & N e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & N e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & N e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & N e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} & N^{2} e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{5} & -N e_{5} & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{3} e_{5} & -N^{3} e_{5} & -N^{3} e_{5} & -N^{3} e_{5} & N^{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{5} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{5} & -e_{1} e_{5} & -e_{1} e_{5} & -e_{1} e_{5} & -N e_{1} e_{5} & 0 & 0 & N e_{1} e_{5} & N e_{1} e_{5} & N e_{1} e_{5} & N^{2} e_{1} e_{5} & N^{2} e_{1} e_{5} & N^{2} e_{1} e_{5} & 0 & -N^{3} e_{1} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{5} & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{1} e_{5} & 0 & 0 & 0 & N^{3} e_{1} e_{5} & N^{4} e_{1} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{5} & 0 & 0 & -N e_{2} e_{5} & N e_{2} e_{5} & N e_{2} e_{5} & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{2} e_{5} & N^{2} e_{2} e_{5} & 0 & N^{2} e_{2} e_{5} & -N^{3} e_{2} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{2} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{2} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{2} e_{5} & N^{3} e_{2} e_{5} & 0 & 0 & N^{3} e_{2} e_{5} & 0 & N^{4} e_{2} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} e_{5} & 0 & 0 & -N e_{3} e_{5} & 0 & -N e_{3} e_{5} & 0 & 0 & N^{2} e_{3} e_{5} & 0 & N^{2} e_{3} e_{5} & N^{2} e_{3} e_{5} & -N^{3} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & -N^{2} e_{3} e_{5} & 0 & N^{3} e_{3} e_{5} & 0 & N^{3} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & N^{4} e_{3} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{4} e_{5} & 0 & 0 & -N e_{4} e_{5} & 0 & -N e_{4} e_{5} & -N e_{4} e_{5} & 0 & N^{2} e_{4} e_{5} & N^{2} e_{4} e_{5} & N^{2} e_{4} e_{5} & -N^{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{4} e_{5} & -N^{2} e_{4} e_{5} & -N^{2} e_{4} e_{5} & -N^{2} e_{4} e_{5} & 0 & -N^{2} e_{4} e_{5} & -N^{2} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & N^{3} e_{4} e_{5} & N^{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & N^{4} e_{4} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{5} & -e_{1} e_{2} e_{5} & -e_{1} e_{2} e_{5} & -e_{1} e_{2} e_{5} & -e_{1} e_{2} e_{5} & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{5} & -N e_{1} e_{2} e_{5} & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{2} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{5} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{5} & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{2} e_{5} & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{2} e_{5} & -N^{2} e_{1} e_{2} e_{5} & -N^{3} e_{1} e_{2} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{3} e_{5} & -N e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & N^{2} e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & -e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{3} e_{5} & -N e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & -N^{2} e_{1} e_{3} e_{5} & 0 & -N^{2} e_{1} e_{3} e_{5} & -N^{3} e_{1} e_{3} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{4} e_{5} & -N e_{1} e_{4} e_{5} & 0 & N^{2} e_{1} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{4} e_{5} & e_{1} e_{4} e_{5} & e_{1} e_{4} e_{5} & e_{1} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & N e_{1} e_{4} e_{5} & N e_{1} e_{4} e_{5} & N e_{1} e_{4} e_{5} & N e_{1} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{4} e_{5} & -N^{2} e_{1} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{4} e_{5} & -N^{3} e_{1} e_{4} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{5} & N^{2} e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & N e_{2} e_{3} e_{5} & N e_{2} e_{3} e_{5} & -N^{2} e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & -N^{2} e_{2} e_{3} e_{5} & -N^{2} e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & -N^{3} e_{2} e_{3} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & -N e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & -N e_{2} e_{4} e_{5} & N^{2} e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{2} e_{4} e_{5} & -e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & N e_{2} e_{4} e_{5} & N e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & N e_{2} e_{4} e_{5} & N e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & N e_{2} e_{4} e_{5} & -N^{2} e_{2} e_{4} e_{5} & -N^{2} e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & -N^{2} e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & -N^{3} e_{2} e_{4} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & -N e_{3} e_{4} e_{5} & -N e_{3} e_{4} e_{5} & N^{2} e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & N e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & -N^{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -N^{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -N^{2} e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & -N^{3} e_{3} e_{4} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} & 0 & N e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} & N e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} & N e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} & N^{2} e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} & -e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} & N e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} & 0 & N e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} & N e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} & N^{2} e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & N e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} & N^{2} e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -N e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & N e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & N^{2} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} & -N e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{6} & -N e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{3} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{4} e_{6} & N^{4} e_{6} & N^{4} e_{6} & N^{4} e_{6} & N^{4} e_{6} & -N^{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{6} & -e_{1} e_{6} & -e_{1} e_{6} & -e_{1} e_{6} & -e_{1} e_{6} & -N e_{1} e_{6} & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{2} e_{1} e_{6} & -N^{2} e_{1} e_{6} & -N^{2} e_{1} e_{6} & -N^{2} e_{1} e_{6} & -N^{3} e_{1} e_{6} & -N^{3} e_{1} e_{6} & -N^{3} e_{1} e_{6} & -N^{3} e_{1} e_{6} & 0 & N^{4} e_{1} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{6} & N e_{2} e_{6} & N e_{2} e_{6} & N e_{2} e_{6} & -N e_{2} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{2} e_{6} & 0 & 0 & -N^{2} e_{2} e_{6} & -N^{2} e_{2} e_{6} & -N^{2} e_{2} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{3} e_{2} e_{6} & -N^{3} e_{2} e_{6} & -N^{3} e_{2} e_{6} & 0 & -N^{3} e_{2} e_{6} & N^{4} e_{2} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{3} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{3} e_{6} & -N^{2} e_{3} e_{6} & -N^{2} e_{3} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N^{3} e_{3} e_{6} & -N^{3} e_{3} e_{6} & 0 & -N^{3} e_{3} e_{6} & -N^{3} e_{3} e_{6} & N^{4} e_{3} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{4} e_{6} & 0 & N^{2} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & N^{2} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N^{3} e_{4} e_{6} & 0 & -N^{3} e_{4} e_{6} & -N^{3} e_{4} e_{6} & -N^{3} e_{4} e_{6} & N^{4} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{5} e_{6} & 0 & N^{2} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{5} e_{6} & 0 & N^{2} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{5} e_{6} & 0 & -N^{3} e_{5} e_{6} & -N^{3} e_{5} e_{6} & -N^{3} e_{5} e_{6} & -N^{3} e_{5} e_{6} & N^{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{6} & -e_{1} e_{2} e_{6} & -e_{1} e_{2} e_{6} & -e_{1} e_{2} e_{6} & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{6} & e_{1} e_{2} e_{6} & e_{1} e_{2} e_{6} & -N e_{1} e_{2} e_{6} & 0 & 0 & N e_{1} e_{2} e_{6} & N e_{1} e_{2} e_{6} & N e_{1} e_{2} e_{6} & N e_{1} e_{2} e_{6} & N e_{1} e_{2} e_{6} & N e_{1} e_{2} e_{6} & 0 & N^{2} e_{1} e_{2} e_{6} & N^{2} e_{1} e_{2} e_{6} & N^{2} e_{1} e_{2} e_{6} & 0 & 0 & -N^{3} e_{1} e_{2} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} e_{6} & 0 & 0 & -e_{1} e_{3} e_{6} & e_{1} e_{3} e_{6} & e_{1} e_{3} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{6} & N e_{1} e_{3} e_{6} & N e_{1} e_{3} e_{6} & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{3} e_{6} & N e_{1} e_{3} e_{6} & 0 & N e_{1} e_{3} e_{6} & N^{2} e_{1} e_{3} e_{6} & N^{2} e_{1} e_{3} e_{6} & 0 & N^{2} e_{1} e_{3} e_{6} & 0 & -N^{3} e_{1} e_{3} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & -e_{1} e_{4} e_{6} & 0 & -e_{1} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{4} e_{6} & 0 & -N e_{1} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & N e_{1} e_{4} e_{6} & N e_{1} e_{4} e_{6} & N^{2} e_{1} e_{4} e_{6} & 0 & N^{2} e_{1} e_{4} e_{6} & N^{2} e_{1} e_{4} e_{6} & 0 & -N^{3} e_{1} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & -e_{1} e_{5} e_{6} & 0 & -e_{1} e_{5} e_{6} & -e_{1} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{5} e_{6} & 0 & -N e_{1} e_{5} e_{6} & -N e_{1} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{1} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{1} e_{5} e_{6} & 0 & -N^{3} e_{1} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{6} & -e_{2} e_{3} e_{6} & -e_{2} e_{3} e_{6} & -e_{2} e_{3} e_{6} & -e_{2} e_{3} e_{6} & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{6} & N e_{2} e_{3} e_{6} & N e_{2} e_{3} e_{6} & N e_{2} e_{3} e_{6} & N e_{2} e_{3} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{2} e_{3} e_{6} & N^{2} e_{2} e_{3} e_{6} & 0 & 0 & N^{2} e_{2} e_{3} e_{6} & -N^{3} e_{2} e_{3} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & -N e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & N e_{2} e_{4} e_{6} & -N e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & N^{2} e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & N^{2} e_{2} e_{4} e_{6} & -N^{3} e_{2} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{5} e_{6} & -N e_{2} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & N^{2} e_{2} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{2} e_{5} e_{6} & 0 & N^{2} e_{2} e_{5} e_{6} & -N^{3} e_{2} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & N^{2} e_{3} e_{4} e_{6} & N^{2} e_{3} e_{4} e_{6} & -N^{3} e_{3} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & -N e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & N^{2} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & N^{2} e_{3} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{3} e_{5} e_{6} & -N^{3} e_{3} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{4} e_{5} e_{6} & -N e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & N^{2} e_{4} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{4} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{4} e_{5} e_{6} & -N^{3} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} & 0 & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} & -e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} & -N e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} & 0 & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{2} e_{3} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & -e_{1} e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{2} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{5} e_{6} & -N e_{1} e_{2} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & N^{2} e_{1} e_{2} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -e_{1} e_{3} e_{4} e_{6} & -N e_{1} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & N^{2} e_{1} e_{3} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & N^{2} e_{1} e_{3} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{4} e_{5} e_{6} & -N e_{1} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & N^{2} e_{1} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} & N^{2} e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & -N e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & -N e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & N^{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} & 0 & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{3} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & 0 & -N e_{1} e_{2} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & 0 & -N e_{1} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} & -N e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_{1} e_{2} e_{3} e_{4} e_{5} e_{6} \end{array}\right)$$

开放探讨¶

• 对于现在扩展维纳的问题都是$n=2$或者是$n=3$时候的模板题，对于更高维的情况，可以编写自动化的脚本来完整自动选择关系、自动构造格等步骤，比如上述内容就是自动生成的。但是对于$n$每增加1，矩阵则是指数倍增加，因为这是一个$2^n * 2^n$的矩阵，这时候直接调用sagemath中的LLL()变得非常缓慢，大约$n=8$的情况已经运行不出来了，我曾尝试寻找LLL在CUDA上的并行算法或是一些其他优化方案实现，但是都是找到了论文没有给出源码的情况。

  如果您对这方面有所研究或者有什么更好的优化方法，欢迎联系我（Xenny）一起进行更加深入的探讨。

EXP¶

• 考虑到不是每个人都需要深入研究扩展维纳攻击，这里还是给出$n=2$时候的EXP以供使用

  e1 = ...
  e2 = ...
  N = ...
  a = 5/14
  D = diagonal_matrix(ZZ, [N, int(N^(1/2)), int(N^(1+a)), 1])
  M = matrix(ZZ, [[1, -N, 0, N^2], [0, e1, -e1, -e1*N], [0, 0, e2, -e2*N], [0, 0, 0, e1*e2]])*D
  L = M.LLL()
  t = vector(ZZ, L[0])
  x = t * M^(-1)
  phi = int(x[1]/x[0]*e1)
  

References¶

• Extending Wiener's Attack in the Presence of Many Decrypting Exponents
• 并行LLL算法研究综述
• Factoring Polynomials with Rational Coefficients
• A PARALLEL JACOBI-TYPE LATTICE BASIS REDUCTION ALGORITHM